Александр окончил ЛГИТМиК (сейчас Российский государственный институт сценических искусств). С 1995 года занимается театром кукол. Спектакли Александра Стависского идут в театрах кукол Санкт-Петербурга, Архангельска, Красноярска, Йошкар-олы, Кызыла, Ольштина (Польша) и других городов. Доцент кафедры режиссуры и актерского мастерства театра кукол РГИСИ, создатель театра-студии «КукАртель».